¡Buscad la belleza!

La búsqueda de la belleza ha motivado siempre a los seres humanos; la belleza física, a la gran mayoría, y los otros tipos de belleza, más bien, a una minoría.

Es obvio que la belleza física exterior está manipulada por la industria del cine y por la propaganda de la moda y que las otras formas de belleza brillan cada vez más por su ausencia: belleza en la música, en el arte, en el discurso intelectual, etc.

En la entrada de hoy me voy a detener en una forma de belleza que a mí me ha atraído casi desde la niñez y que es difícil poder compartir con otros sin ser tildado de friki, excéntrico o sheldoniano. Sí, me refiero a la belleza de la matemática y de la lógica que impregna las demostraciones de algunos asertos matemáticos.

Hay muchos ejemplos que podrían darse y quienes se han sumergido en las profundidades del quehacer matemático a buen seguro podrían presentar otros ejemplos de oro puro refinado, pero me conformo con mostrar uno relativo a la teoría de filtros de la topología general, propio del nivel de quien se ha quedado en la orilla del mar del conocimiento matemático, pero que permite, a mi juicio, vislumbrar la belleza matemática.

Si eres "de letras",  la traducción al final de la entrada

No obstante,  de entre todas las formas de belleza, parece preferible buscar la que se halla en la naturaleza y en el cosmos y, sobre todo, la belleza interior de la que nos habla la Sagrada Escritura, es decir, la del carácter afable y apacible.

"Vuestro atavío no sea el externo de peinados ostentosos, de adornos de oro o de vestidos lujosos, sino el interno, el del corazón, en el incorruptible ornato de un espíritu afable y apacible, que es de grande estima delante de Elohim".

(1 Pedro 3:3-4)

"Y Yahwéh respondió a Samuel: No mires a su parecer, ni a lo grande de su estatura, porque yo lo desecho (por Shaúl); porque Yahwéh no mira lo que mira el hombre, pues el hombre mira lo que está delante de sus ojos, pero Yahweh mira el corazón" 

(1 Samuel 16:7)

"Engañosa es la gracia y vana la belleza, pero la mujer que teme a Yahwéh, esa será alabada". 

(Proverbios 31:30)

¡Buscad la belleza!

Pruébese que todo entorno del conjunto A de puntos de aglomeración de un filtro sobre un espacio topológico compacto X no vacío es siempre un elemento del filtro.

Demostración:

Se sabe que el conjunto de puntos de aglomeración de un filtro es la intersección de las adherencias de todos los elementos del filtro. Por tanto, dado un entorno arbitrario N de A existe un abierto G contenido en N, que contiene a A. Esto implica que el complementario de G está contenido en el complementario de A, es decir, en la unión de los complementarios de las adherencias de los elementos del filtro. Así, la familia formada por el abierto G y los complementarios de las adherencias de los elementos del filtro constituye un recubrimiento abierto de X. Al ser X compacto, existe un sub-recubrimiento finito del mismo. Por tanto, el complementario de G está contenido necesariamente en una unión finita de complementarios de adherencias de elementos del filtro o equivalentemente, en el complementario de una intersección finita de adherencias de elementos del filtro. Esto equivale a que G contiene a una intersección finita de adherencias de elementos del filtro y, por tanto, pertenece al filtro. Finalmente, como el entorno N contiene a G, N también pertenece al filtro,    quod erat demostrandum

Vitoria-Gasteiz                                 1 de diciembre de 2021