El principio de mínima acción

Recuerdo que cuando cursaba bachillerato, ya hace unos decenios, una de las partes de la asignatura de matemáticas que más me interesó fue la de los problemas de optimización de funciones reales de variable real. Más tarde comprobé que éste no era sino un caso particular de otros más generales, pero análogos, como el de la búsqueda de extremales de un funcional. Así, por ejemplo, se sabe que de entre todas las superficies que encierran un volumen dado es precisamente la esférica la de menor área o en su versión bidimensional, se sabe que de entre todas las curvas que delimitan una superficie determinada es precisamente la circunferencia la de menor longitud. De ahí que  observemos en la naturaleza cómo, por ejemplo, el agua, si no está sometida a fuerzas externas, adopta una forma esférica como la de la gota.

Es éste, el llamado principio de mínima acción o, más apropiadamente, principio de acción estacionaria, uno de los descubrimientos del saber científico que más me maravilla y que mejor refleja, a mi entender, la omnisciencia del Creador. Su primera formulación se debe, al parecer, a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), quien dijo que "la naturaleza es económica en todas sus acciones". 

Louis Moreau de Maupertuis

 Otros científicos como Leibniz y Euler desarrollaron posteriormente la idea,

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leonhard Euler

si bien hay que decir que con anterioridad a la formulación del francés, ya otros estudiosos se habían percatado del asunto y así, por ejemplo, D'Alembert había formulado un año antes el llamado principio de D'Alembert

Jean le Rond D'Alembert

 que generalizaba las leyes de Newton y Pierre de Fermat, tras analizar el comportamiento de los rayos de luz en situaciones como la reflexión y la refracción, había enunciado el llamado principio de Fermat, según el cuál, los rayos de luz siguen en su camino la trayectoria por la que invierten el menor tiempo, y no, como pudiera pensarse, la trayectoria más corta. 

Pierre de Fermat

A continuación presento, por su belleza, la formulación matemática del principio, que es seguramente difícil de entender para quien carece de conocimientos de física y de matemática y que, por otra parte, puede verse también en wikipedia.

Fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que de todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t₁ y t₂, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción

viene dada para cada trayectoria posible 

por la integral:

donde     

es la función lagrangiana del sistema. Puede probarse mediante cálculos variacionales que, de entre todas las trayectorias posibles, la que hace mínima a la acción S (o más propiamente dicho, estacionaria) es la que anula su variación primera, es decir, la solución de la siguiente ecuación:

de la que se deduce la ecuación de Euler-Lagrange:

Si tú también ves belleza en estas fórmulas y estás interesado en leer las disquisiciones matemáticas que éste tema me motivó hace un tiempo te sugiero la lectura del siguiente documento.