Con la entrada de hoy, una vez más, vuelvo a hacer un guiño a las Matemáticas, el lenguaje que usa la ciencia, aunque a mí me parece que es un lenguaje que nos ayuda a entender que somos seres potencialmente divinos y creados por un ser único, majestuoso y Todopoderoso, de nombre Yahwéh.
Para animar a los estudiantes, aunque sin éxito normalmente, se suele decir que las Matemáticas son útiles y divertidas, a lo que añado, y sobre todo bellas.
Lo que sigue es un ejemplo de que, a veces, es posible resolver ciertos problemas matemáticos usando diferentes métodos.
Presento, como ejemplo particular, uno relacionado con uno de los clásicos problemas de la Física, el péndulo, y lo resuelvo mediante cuatro métodos distintos, unos más extensos que otros, unos más bellos que otros, pero todos conducentes a la misma solución.
Esto me recuerda a los escritos apostólicos o de la Nueva Alianza, mal llamados Nuevo Testamento: Matityah (Mateo), Marqos (Marcos), Loukás (Lucas) y Yojanán (Juan).
Los cuatro libros describen la vida, obra y enseñanzas de Yeshúa el Mesías (Jesús el Ungido o el Cristo) y aunque tienen distintos puntos de vista y diferente extensión, los cuatro trasmiten la misma y única solución para el "problema" de la salvación del alma humana:
Yeshúa le dijo: Yo soy el camino, y la verdad, y la vida; nadie viene al Padre, sino por mí. (Yojanán 14:6)
[...] sea notorio a todos vosotros, y a todo el pueblo de Yisrael, que en el nombre de Yeshúa el Mesías de Natséret (Jesús el Cristo de Nazaret), a quien vosotros crucificasteis y a quien Elohim (Dios) resucitó de los muertos, por él este hombre está en vuestra presencia sano. Este Yeshúa (Jesús) es la piedra reprobada por vosotros los edificadores, la cual ha venido a ser cabeza del ángulo. Y en ningún otro hay salvación; porque no hay otro nombre bajo el cielo, dado a los hombres, en que podamos ser salvos. (Hechos 4:10-12)
¡Y tras esta observación, vamos allá!
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden, no lineal, pero si el ángulo θ es pequeño, entonces
l = g
se obtiene la siguiente EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes
Además, si las condiciones iniciales de posición y velocidad son respectivamente
lθ(0) = 0
lθ′(0) = l
se obtiene el siguiente Problema de Valor Inicial (PVI):
que a continuación se representa con otra notación y lo resolvemos mediante cuatro métodos, aunque el último bien podría equipararse al dicho matar moscas a cañonazos.
1. Método de resolución de EDO lineales con coeficientes constantes
Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. La ecuación característica asociada es
cuyas raíces son los números complejos conjugados, −i, i, luego la solución general es
Por tanto,
y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se deduce que
de donde la solución del PVI es
2. Método de resolución con la transformada de Laplace
Este es el más breve de los cuatro métodos y a mi juicio el más elegante.
de donde
3. Método de resolución con series de potencias
Supongamos que la solución puede desarrollarse en serie de potencias
Entonces
Por otra parte,
En definitiva,
luego
4. Método de resolución como un sistema de EDO
Sacamos ahora el cañón para matar una mosca, y se obtiene un sistema lineal homogéneo con el siguiente cambio de variable
donde es,
Se busca una matriz diagonal semejante a A
Se halla el subespacio fundamental de vectores propios asociado a cada valor propio,
Y así, una matriz fundamental que resuelve el sistema homogéneo viene dada por
Y es
resulta
En definitiva,
de donde
También es posible calcular la matriz exponencial de A y aplicar la fórmula de la solución de un sistema homogéneo. Así pues, es
y la solución del sistema lineal viene dada por la fórmula
de donde
Si quieres acceder al documento en PDF lo puedes hacer en el siguiente enlace
Y si quieres profundizar en el conocimiento del Todopoderoso Yahwéh un buen sitio recomendables es
Vitoria-Gasteiz 2 de octubre de 2022
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