El principio de mínima acción

Recuerdo que cuando cursaba bachillerato, ya hace unos decenios, una de las partes de la asignatura de matemáticas que más me interesó fue la de los problemas de optimización de funciones reales de variable real. Más tarde comprobé que éste no era sino un caso particular de otros más generales, pero análogos, como el de la búsqueda de extremales de un funcional. Así, por ejemplo, se sabe que de entre todas las superficies que encierran un volumen dado es precisamente la esférica la de menor área o en su versión bidimensional, se sabe que de entre todas las curvas que delimitan una superficie determinada es precisamente la circunferencia la de menor longitud. De ahí que  observemos en la naturaleza cómo, por ejemplo, el agua, si no está sometida a fuerzas externas, adopta una forma esférica como la de la gota.

Es éste, el llamado principio de mínima acción o, más apropiadamente, principio de acción estacionaria, uno de los descubrimientos del saber científico que más me maravilla y que mejor refleja, a mi entender, la omnisciencia del Creador. Su primera formulación se debe, al parecer, a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), quien dijo que "la naturaleza es económica en todas sus acciones". 

Louis Moreau de Maupertuis

 Otros científicos como Leibniz y Euler desarrollaron posteriormente la idea,

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leonhard Euler

si bien hay que decir que con anterioridad a la formulación del francés, ya otros estudiosos se habían percatado del asunto y así, por ejemplo, D'Alembert había formulado un año antes el llamado principio de D'Alembert

Jean le Rond D'Alembert

 que generalizaba las leyes de Newton y Pierre de Fermat, tras analizar el comportamiento de los rayos de luz en situaciones como la reflexión y la refracción, había enunciado el llamado principio de Fermat, según el cuál, los rayos de luz siguen en su camino la trayectoria por la que invierten el menor tiempo, y no, como pudiera pensarse, la trayectoria más corta. 

Pierre de Fermat

A continuación presento, por su belleza, la formulación matemática del principio, que es seguramente difícil de entender para quien carece de conocimientos de física y de matemática y que, por otra parte, puede verse también en wikipedia.

Fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que de todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t₁ y t₂, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción

viene dada para cada trayectoria posible 

por la integral:

donde     

es la función lagrangiana del sistema. Puede probarse mediante cálculos variacionales que, de entre todas las trayectorias posibles, la que hace mínima a la acción S (o más propiamente dicho, estacionaria) es la que anula su variación primera, es decir, la solución de la siguiente ecuación:

de la que se deduce la ecuación de Euler-Lagrange:

Si tú también ves belleza en estas fórmulas y estás interesado en leer las disquisiciones matemáticas que éste tema me motivó hace un tiempo te sugiero la lectura del siguiente documento.

El Gran Hotel de Hilbert

David Hilbert (1862-1943) fue un excelente matemático nacido en Königsberg (Alemania), la ciudad del famoso problema de los puentes. Su notoriedad está motivada tanto por su gran aportación científica, como por su lista, propuesta en 1900, de los 23 problemas sin resolver más importantes de su época, que fueron los que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante buena parte del S.XX y de los cuáles se han resuelto ya una docena de ellos.

Casi todos sabemos que infinito no es un número sino un concepto, una idea, o mejor dicho, una de las caracterizaciones más importantes de Dios, pues la
primera es el amor.  Para ilustrar el concepto de infinito, es muy útil la metáfora que dicen que utilizaba Hilbert en sus clases y que da título a esta entrada: Un grupo de empresarios decide construir un hotel, pero no un hotel corriente sino el más grande del mundo. Uno de ellos propone construirlo con 1000 habitaciones, pero su propuesta se rechaza porque alguien podría construir otro con 1001 y le superaría. Vuelve a proponer un número aún mayor, en este caso 100000 habitaciones, pero vuelve a ser rechazada su propuesta pues alguien podría construir un hotel con 100001 habitaciones y entonces volvería a ser superado. El empresario se vuelve a armar de ingenio y hace su última propuesta: “Solo nos queda una opción, construyamos un hotel con infinitas habitaciones”. Nadie le pudo hacer ningún reproche, porque nadie podría construir un hotel más grande: El Gran Hotel de Hilbert, el hotel más grande del mundo en el que ningún huésped que solicitase alojamiento quedaría sin ver cumplido su deseo. Una vez inaugurado, rápidamente se llenaron sus infinitas habitaciones con infinitos huéspedes. Al poco tiempo llegó una persona pidiendo una habitación libre. El recepcionista le dijo que sólo tenía que esperar a que los clientes se cambiaran de habitación. El recepcionista llamó a todos los huéspedes y les dijo que miraran el número de su habitación y se mudaran a la habitación un número mayor, es decir, por ejemplo, el de la habitación 47 pasaría a la 48 y, en general, el de la habitación n a la n+1. Como hay infinitas habitaciones, siempre hay un número de habitación una unidad mayor. Así la primera habitación quedaría libre y el nuevo cliente tendría donde dormir. Más tarde llegó un autobús con infinitos turistas (era un autobús enorme, infinito) que necesitaban alojamiento. El recepcionista para resolver el problema llamó a todos los clientes del hotel y les dijo que se cambiaran a la habitación que fuera el doble del número de la suya, es decir, por ejemplo, el inquilino de la habitación 101 se mudaría a la habitación 202 y, en general, el de la habitación n a la 2n, cosa que se puede hacer porque hay infinitas habitaciones. De esta manera todas las habitaciones impares se quedaron libres y así se pudieron instalar los pasajeros del autobús infinito. Pero la historia no termina ahí. Al poco tiempo, llegaron al hotel infinitos autobuses con infinitas personas cada uno, quienes también querían alojarse en el hotel. Tras reflexionar detenidamente, el recepcionista ordenó por megafonía que cada inquilino se mudase a la habitación que fuera el doble de la suya, quedando así las impares libres como en el caso anterior. Acto seguido, numeró los autobuses utilizando los números primos p, exceptuando el 2, en orden creciente, es decir, 3,5,7,11, etc. ,  y dentro de cada autobús numeró a los viajeros con los números naturales np . Después fue dando a cada persona el número de su habitación, es decir, 

quedando, así, todas ellas alojadas y no sólo eso sino que aún quedaron habitaciones libres, como por ejemplo, la número 15. Basta tener en cuenta que hay infinitos números primos, que sus potencias son todas impares y que si dos primos son distintos dos potencias cualesquiera suyas también son distintas. Como expresaría un matemático 

Si quieres ver un divertido video en youtube con este problema lo puedes ver en este enlace. 
El que se presenta aquí es un ejemplo del concepto matemático de infinito numerable, pero existen otros infinitos "mayores".
El Capítulo I, titulado LOS GRANDES NÚMEROS, del libro Un, dos, tres, ... infinito de George Gamow comienza con un chiste malicioso sobre húngaros que transcribo a continuación, eso sí, poniendo "bilbaínos" donde él puso "húngaros", y esperando que los primeros no se enfaden mucho:
Estaban dos bilbaínos juntos y decidieron jugar a un juego en el cuál ganaría quien dijera el número más alto.
-Bien -dijo uno de ellos-, dí tú primeramente el número.
Después de algunos minutos de intenso trabajo mental, el segundo bilbaíno dijo, finalmente, el mayor número que se le ocurrió.
-Tres -exclamó.
Entonces, le tocó el turno para meditar al primero, pero después de un cuarto de hora se dio por vencido.
- Has ganado -le dijo.
Por supuesto, los dos bilbaínos del chiste no representan un grado de inteligencia muy alto y el chiste no es sino una calumnia maliciosa, pero podría haberse sostenido una conversación semejante entre hotentotes. Sabemos, por los exploradores africanos, que muchas tribus de hotentotes no tienen en su vocabulario los nombres de los números superiores a tres. Si se pregunta a un nativo cuántos hijos tiene o cuántos enemigos ha matado,
y si el número representa más de tres, contestará: muchos. Así, en el país de los hotentotes, en lo que respecta al arte de contar, los feroces guerreros serían vencidos por cualquier niño de escuela infantil que se pudiese jactar
de contar ¡hasta diez! [...]
De acuerdo con Georg Cantor,el creador de la "aritmética del infinito", los números infinitos se designan con la letra del hebreo (álef) con un subíndice a la derecha que indica el orden del infinito.

La serie de números (incluyendo los trasfinitos) va ahora como sigue:
 y decimos que 

"en una línea hay puntos" o que "hay  curvas diferentes",

exactamente como decimos que hay 40 cartas en una baraja española de naipes. [...] Sabemos que representa el conjunto de todos los 
números naturales,  representa el conjunto de todos puntos 
geométricos y   el número de todas las curvas, pero nadie, hasta ahora, ha sido capaz de concebir una colección infinita definida de objetos que deba ser descrita por  .
Parece que los tres primeros números infinitos son suficientes para contar todo lo que podamos imaginar, y nos hallamos aquí en una posición exactamente opuesta a la de nuestro viejo amigo el hotentote que tenía
muchos hijos, ¡pero  no podía contar más de tres! 
Si estás interesado en profundizar un poco sobre el tema de los infinitos profundamente tratado por el matemático alemán 
Georg Cantor (1845-1918) y tienes alguna noción de teoría de conjuntos te sugiero la lectura del siguiente documento.
Una de las frases que se atribuyen a Albert Einstein está también relacionada con el concepto de infinito, eso sí, de forma irónica: "Sólo hay dos cosas infinitas: el universo y la estupidez humana. Y no estoy tan seguro de la primera".

Al parecer, el mismo Georg Cantor estaba lejos de considerar la pregunta sobre el infinito matemático y el concepto de Dios como asuntos completamente distintos, sino que consideraba que su estudio de los números trasfinitos es un acercamiento a Dios, y que sus descubrimientos sobre ellos habían sido inspirados precisamente por el Creador. 
Quienes veían el concepto de los infinitos de Georg Cantor como una amenaza a la propia idea de Dios fueron los más críticos con sus estudios, pero el hecho de que nadie haya sido capaz de concebir una colección infinita definida de objetos que haya de ser descrita con y que, por tanto, nos resulten suficientes los tres primeros números trasfinitos, me lleva a sugerir que estas críticas eran infundadas ya que, al igual que hay un orden jerárquico en los números trasfinitos, análogamente podemos establecer un orden en la divinidad: Dios, Padre, mayor que su Hijo, y presente en ambas personas el santo espíritu del Padre. A las Dos Personas podemos caracterizarlas como infinitas, también hay un orden jerárquico entre ellas e incluso se podría afinar diciendo que el primer número trasfinito representa al Hijo, puesto que, como él, tiene un primer elemento, es decir, tiene un principio, pues el Hijo fue creado. Parece como si nuestro Creador nos hubiera hecho un guiño matemático: ¡No necesitáis más infinitos! ¡No hay más dioses que Yahwéh!
Si bien en el primer libro de la Biblia, el Génesis, la palabra hebrea que aparece para designar a Dios es Elohim, que es plural, sin embargo, es vox populi el monoteísmo del judaísmo y que es un plural mayestático.
Así dice Jehová Rey de Israel, y su Redentor, Jehová de los ejércitos: Yo soy el primero, y yo soy el postrero, y fuera de mí no hay Dios. Isaías 44:6
A continuación incluyo un texto que responde a la pregunta "¿Qué significa que Dios es infinito?" y que puede encontrarse aquí.
La naturaleza infinita de Dios significa simplemente que Dios existe aparte de, y no está limitado por el tiempo o el espacio. Infinito significa “sin límites”: Cuando nos referimos a Dios como “infinito,” generalmente nos referimos a Él con términos como omnisciente, omnipotente, omnipresente, etc. Omnisciente significa que Dios lo sabe todo, o que Él tiene un conocimiento ilimitado. Su conocimiento infinito  es lo que lo califica como gobernante y juez soberano sobre todas las cosas. No sólo sabe Dios todo lo que sucederá, sino también sabe todas las cosas que pudieran haber sucedido. Nada toma a Dios por sorpresa, y nadie puede esconderse de Él. Hay muchos versos en la Biblia donde Dios revela este aspecto de Su naturaleza. Uno de ellos es:  “[...] mayor que nuestro corazón es Dios, y él sabe todas las cosas.” 1 Juan 3:20
Omnipotente significa que Dios es todopoderoso o que Él tiene un poder ilimitado. Tener todo el poder es significativo, porque establece la habilidad de Dios para llevar a cabo Su soberana voluntad. En razón de que Dios es omnipotente y tiene un poder infinito, nada puede evitar lo que Su voluntad haya decretado que suceda, y nada puede detener o impedir que se cumplan sus propósitos divinos. Hay muchos versículos en la Biblia en los que Dios revela este aspecto de Su naturaleza. Uno de tales versículos es: “Nuestro Dios está en los cielos; Todo lo que quiso ha hecho.” Salmo 115:3
O cuando respondió a la pregunta de Sus discípulos de “¿Quién, pues, podrá ser salvo? (Mateo 19:25), Jesús dice, “Para los hombres, esto es imposible; 
mas para Dios todo es posible.” (Mateo 19:26).
Omnipresente significa que Dios siempre está presente. No hay un lugar al que puedas ir para escapar de la presencia de Dios. Dios no está limitado por el tiempo o el espacio. Él está presente en cada punto del tiempo y del espacio. La presencia infinita de Dios es significativa porque establece que Dios es eterno. Dios siempre ha existido y siempre existirá. Antes del principio del tiempo, Dios ya era. Él no tiene principio ni fin, y nunca hubo un tiempo en el que Él no existiera, ni habrá un tiempo en el que Él cese de existir. Nuevamente, muchos versículos en la Biblia nos revelan este aspecto de Dios, y uno de ellos es: “¿A dónde me iré de tu Espíritu? ¿y a dónde huiré de tu presencia? Si subiere a los cielos, allí estás tú; Y si en el Seol hiciere mi estrado, he aquí, allí tú estás. Si tomare las alas del alba y habitare en el extremo del mar, aun allí me guiará tu mano, y me asirá tu diestra.”
Salmo 139:7-10. Porque Dios es infinito, también se dice que es trascendental, lo que simplemente significa que Dios está excesivamente muy por encima de la creación, es tanto mayor que la creación como independiente de ella. Lo que esto significa, es que Dios está tan infinitamente por encima y más allá de nosotros y de nuestra habilidad para comprenderlo, que si Él no se hubiera revelado a Sí mismo, nosotros no sabríamos ni entenderíamos cómo es Él. Pero, afortunadamente, Dios no nos ha dejado ignorantes de Él mismo. En vez de ello, Él se ha revelado a Sí mismo a nosotros a través tanto de la revelación general (la creación y nuestra conciencia) y la revelación especial (la Palabra de Dios escrita, la Biblia, y la Palabra viva de Dios, que es Jesucristo). Por tanto, podemos conocer a Dios, y podemos saber cómo reconciliarnos con Él y cómo vivir de acuerdo a Su voluntad. A pesar del hecho de que somos finitos y Dios es infinito, podemos saber y entender a Dios, porque Él se ha revelado a nosotros.

* En la actualidad creo que el dogma de la Trinidad es falso, tal y como queda reflejado en la entrada "El dogma de la Trinidad"